Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Ce este un paralelipiped? Paralelipipedul dreptunghic

Ce este un paralelipiped? Paralelipipedul dreptunghic

| |

Fig. 1 - Tipuri de paralelipiped

Paralelipipedul este o prisma cu bazele paralelograme. Prin urmare, paralelipipedul are toate fetele paralelograme. Aceasta figura geometrica in spatiu poate fi considerata o prisma in trei moduri diferite. Oricare dintre paralelogramele care determina fetele unui paralelipiped poate fi considerat poligon director.

Daca fetele laterale ale unui paralelipiped sunt dreptunghiuri, adica daca muchia laterala este perpendiculara pe baza, paralelipipedul se numeste drept. Aceasta denumire este arbitrara; daca alegem ca baza o fata laterala, paralelipipedul drept ne apare acum oblic (vedeti figura 1).

Paralelipipedul dreptunghic

Un paralelipiped cu toate fetele dreptunghiuri se numeste paralelipiped dreptunghic.

Prin urmare, vom spune ca un paralelipiped dreptunghic este o prisma dreapta numai intr-un singur mod. Evident orice paralelipiped dreptunchic este drept, nu insa orice paralelipiped drept este paralelipiped dreptunghic.

Fig. 2 - Paralelipiped dreptunghic

Ultima propozitie este mult mai usor de inteles decat de desenat. Aceasta se datoreaza bazelor paralelipipedului, din cauza perspectivei, acestea aparand si la cel drept dar si la cel dreptunghic tot paralelograme, acestea din urma nefiind dreptunghiuri (Fig. 2). In figura 2, ca sa se evite confuzia s-au marcat unghiurile drepte.

Diagonala paralelipipedului dreptunghic

Diagonala paralelipipedului dreptunghic este segmentul de dreapta care uneste doua varfuri. Aceste varfuri nu se gasesc pe aceeasi fata (de exemplu A'D din figura 3).

Fig. 3 - Diagonala paralelipipedului dreptunghic

Intr-un paralelipiped exista patru diagonale. Presupunem, in figura 3, ca dimensiunile paralelipipedului sunt a, b, c, si diagonala A'D = d.

Sa demonstram ca:

d² = a² + b² + c²

formula utila pentru calculul diagonalei si care este teorema lui Pitagora in spatiu (figura 3).

In triunghiul dreptunghic ABD (∢B = 90°): x² = a² + b², (x = AD).

In trunghiul dreptunghic AA'D (∢A'AD = 90°) : d² = c² + x² = c² + a² + b², si relatia este demonstrata.

O problema de sectiune. Se da cubul din figura 4 cu notatiile ei, unde: M ∈ DD', N ∈ C'C, P ∈ AB. Sa se demonstreze sectiunea determinata de MNP in cub.

Fig. 4

Unim M cu N (fiind pe aceeasi fata), prelungim dreapta lor pana taie pe DC in Q, care apartine deci planului (C'CD). Unim Q cu P. Notam R = CB ∩ PQ. Am obtinut segmentul NR al sectiunii. Ducem, pe fata AA'D'D, MS ∥ NR, (S ∈ A'A). Unim A cu P. Sectiunea cautata este PRNMS.

Aria si volumul paralelipipedului dreptunghic

Dupa cum ii alegem baza, untem obisnuiti, la un paralelipiped dreptunghic, sa numim muchiile de marimi diferite: lungime, latime si inaltime. Lungimea si latimea sunt laturile bazei, in aceasta ordine (lungimea este mai mare decat latimea). Numim uneori lungimea, latimea si inaltimea, cele trei dimensiuni ale paralelipipedului. Daca le notam cu a, b, c, aria totala a paralelipipedului dreptunghic va fi:

A_{paralelipipedului} = 2(ab + bc + ca) (1) sau A = 2ab + 2bc + 2ac (2)

unde: a = lungime, b = latime, c = inaltime.

Un caz deosebit de paralelipiped dreptunghic este cubul, care are toate muchiile congruente, deci toate fetele sunt patrate. Notand lungimea muchiei lui cu a, aria sa totala va fi 6a².

Volumul paralelipipedului dreptunghic este deci egal cu produsul dimensiunilor sale, iar al cubului cu muchia la cub.

V = a x b x c (3) sau V_{paralelipipedului} = lungimea x latimea x inaltimea (4) V_cubului = latura³ (5)

Bibliografie

Cuculescu I. si altii, Geometrie, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti 1983;
Wikipedia.org, Paralelipiped dreptunghic, shorturl.at/glHMP, vizitat la 01 aprilie 2023.

Alte articole