Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Determinarea planului. Axiome

Determinarea planului. Axiome

| |

Pentru determinarea planului avem la baza axiomele (propozitiile) mentionate in articolul precedent "Puncte, drepte si plane", in care spuneam ca:

P₁ - Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; orice dreapta are cel putin doua puncte distincte.

P₂ - Intr-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralela la ea si numai una.

P₃ - Fiind tri puncte necoliniare, exista un plan si numai unul care sa le contina; intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.

1) P₃ ne afirma ca: Trei puncte necolinare determina un plan. Din acest motiv, uneori, vom nota planul care contine punctele A, B, C, astfel: (ABC).

Vom demonstra ca:

2) O dreapta si un punct care nu ii apartine determina un plan. (Prin "determina un plan" intelegem ca exista un plan si numai unul care le contine.)

Fig. 1

Intr-adevar, fie d si A ∉ d (figura 1). Tinand seama de a doua parte a lui P₁, putem considera doua puncte B si C apartinand dreptei d. Punctele A, B, C determina un plan care contine si dreapta d, pentru ca ii apartin atat B cat si C. Acest plan este unic. Daca ar mai exista un alt plan, care sa contina dreapta d si punctul A, atunci si B si C i-ar apartine, deci acest plan ar coincide cu primul plan (conform axiomei P₃). Uneori vom nota planul determinat de dreapta d si de punctul A astfel: (d, A).

3) Doua drepte care au un punct comun determina un plan.

Fie dreptele d₁ si d₂, concurente in A (figura 2). Luam M ∈ d₂, N ∈ d₁. Punctele A, M, N determina un plan care, evident, contine dreptele date.

Fig. 2

Daca ar mai exista un alt plan, care sa contina aceste drepte, ar contine si cele trei puncte, deci ar coincide cu primul.

4) Doua drepte paralele determina un plan.

Fie d si g doua drepte paralele si A ∈ d. Punctul A si dreapta g determina planul α. Daca tinem seama de axioma de mai sus P₂, afirmam ca d si g sunt coplanare. Fie β planul lor. Dar planele α si β au comune dreapta g si punctul A, deci coincid (figura 3).