Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie!Linia mijlocie intr-un triunghi

Linia mijlocie intr-un triunghi

 29 Septembrie 2022, 15:58  |   Rombadconstruct  |   Ce mare inginerie!

Linia mijlocie in triunghi
Fig. 1 - Linia mijlocie intr-un triunghi

Daca luam un triunghi △ABC (Figura 1) si mijloacele D si E ale laturilor [AB], respectiv [AC], segmentul [DE] este o linie mijlocie in triunghi.

Prin urmare, avem urmatoarea definitie a liniei mijloci in triunghi: Intr-un triunghi △ABC, segmentul ale carei extremitati sunt mijloacele a doua laturi se numeste linie mijlocie.

Ca si teorema asupra liniei mijloci intr-un triunghi: Intr-un triunghi, segmentul care uneste mijloacele a doua laturi (linia mijlocie) este paralel cu cea de-a treia latura si are ca lungime jumatatea din lungimea acesteia.

Pentru a demonstra cele spuse anterior, vom lua triunghiul △ABC si linia mijlocie a acestuia [DE]. Pe dreapta DE luam un punct F astfel ca [DE] ≡ [EF] (Figura 2) si vom uni pe A cu punctul F, iar pe D cu C.

Linia mijlocie
Fig. 2

In patrulaterul obtinut astfel ADCF diagonalele [AC] si [DF au urmatoarele proprietati: [AE] ≡ [EC] (din ipoteza) si [DE] ≡ [EF] (dun constructia facuta).

Conform teoremei reciproce: Daca intr-un patrulater convex diagonalele au acelasi mijloc, atunci patrulaterul este un paralelogram, rezulta ca patrulaterul ADCF este paralelogram. Deci, AD ∥ FC si [AD] ≡ [FC]. Cum AD este una si aceeasi dreapta cu DB si [AD] ≡ [BD] (din ipoteza), putem spune DB ∥ FC si [DB] ≡ [FC].

Prin urmare, rezulta ca patrulaterul DBCF este este la randul sau un paralelogram (conform teoremei reciproce: Daca intr-un patrulater convex doua laturi opuse sunt congruente si paralele, atunci patrulaterul este paralelogram).

In plus, DE ∥ BC (laturile opuse intr-un paralelogram sunt paralele) si DE = ⋅ BC (laturile opuse intr-un paralelogram sunt congruente ([DF] ≡ [BC]), iar DE = ⋅ DF (din constructie)).

Foarte important de stiut este faptul ca intr-un triunghi exista trei linii mijlocii.

Teorema reciproca. Intr-un triunghi ABC, paralela prin mijlocul D al laturii [AB] la latura [BC] contine mijlocul E al laturii [AC] si avem DE = ⋅ BC. Pentru a demonstra aceasta teorema, mai intai demonstram ca [AE] ≡ [EC] si folosim metoda reducerii la absurd.

Triunghi
Fig. 3

Mai intai, presupunem ca E nu ar fi mijlocul laturii [AC], adica [AE] ≢ [EC]. In aceasta situatie ar exista un alt punct, E' (Figura 3), care sa fie mijlocul laturii [AC] ([AE'] ≡ [E'C]). In aceasta situatie, ar insemna ca segmentul [DE']ar fi linie mijlocie in triunghiul ABC si conform teoremei directe asupra liniei mijlocii intr-un triunghi, ar insemna ca DE' ∥ BC.

Insa, cum din ipoteza stim ca DE ∥ BC, ar insemna ca prin punctul D ar exista doua paralele (DE si DE') la dreapta BC. Acest rezultat la care am ajuns contrazice axioma lui Euclid (axioma paralelelor), deci este absurd. Absurditatea se datoreaza presupunerii facute, ca nu punctul E este mijlocul laturii AC, ci punctul E' ar fi acest mijloc. Presupunerea facuta este deci falsa.

In cele din urma, rezulta ca [AE] ≡ [EC].

Demonstratia partii a doua a concluziei (DE = ⋅ BC) este imediata, deoarece [DE] este linie mijlocie in △ABC si, conform teoremei directe asupra liniei mijloci intr-un triunghi, linia mijlocie are ca lungime jumatate din lungimea laturii cu care este paralela. Prin urmare, DE = ⋅ BC.

Alte articole

    Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd este o metoda de rationament […]

Mai mult…

    Simetria fata de o dreapta

Simetria fata de o dreapta

Cuvantul simetrie este compus din doua cuvinte care […]

Mai mult…

    Absorbtia de apa

Absorbtia de apa si umiditatea materialelor

Absorbtia de apa este proprietatea materilelor […]

Mai mult…
Categorii
Comentati cu profilul de Facebook