Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Ordinea efectuarii operatiilor. Exercitii
Ordinea efectuarii operatiilor. Exercitii
13 Aprilie 2023, 11:53 | Florin Badea | Ce mare inginerie!
Ordinea efectuarii operatiilor respecta anumite reguli matematice simple. Prima regula, si cea mai simpla, este faptul ca orice operatie se efectueaza de la stanga la dreapta. Daca avem operatii de ordinul al treilea (ridicari la putere), acestea se executa primele, apoi cele de ordinul al doilea si, la final, cele de ordinul intai. Atunci cand intr-un exercitiu se gasesc paranteze, ordinea efectuarii operatiilor obliga inceperea efectuarii operatiilor aflate intre parantezele rotunde. Pentru a aprofunda ordinea efectuarii operatiilor si a descoperii toate regulile acestei ordini, urmariti acest articol.
Ordinea efectuarii operatiilor de adunare si scadere
La efectuarea sumei din cadrul urmatorului exercitiu simplu 12 + 15 + 7 + 423 calculele se fac de la stanga la dreapta. Prin urmare, se efectueaza 12 + 15, iar rezultatul 27 se aduna cu 7. Se obtine 34 care se aduna cu 423. Rezultatul final este 457. Datorita proprietatilor de comutativitate si asociativitate ale adunarii numerelor naturale, efectuarea sumei
se poate face adunand, mai intat, doi termeni oarecare ai acestei sume. Rezultatul obtinut se aduna cu unul oarecare din ceilalti termeni ai sumei si se continua asa pana la obtinerea rezultatului final. In cazul sumei de mai inainte avem: 15 + 423 = 438, 438 + 12 = 450, 450 + 7 = 457. Aceasta se datoreaza faptului ca
In cazul efectuarii unor calcule de forma
calculele se fac, de asemenea, de la stanga la dreapta. Prin urmare, 28 + 7 = 35, 35 - 13 = 22, 22 + 201 = 223. Deci
Ordinea efectuarii operatiilor cu adunare, scadere si inmultire
La efectuarea urmatoarelor calcule, unde avem operatii de inmultire, ordinea efectuarii operatiilor se schimba, astfel
se efectueaza, mai intai, operatiile de inmultire si impartire de la stanga la dreapta. Deci 71 ⋅ 18 = 1278, 33 ⋅ 8 = 264. Avem
In continuare, calculele se efectueaza cum s-a aratat mai inainte.
Daca unele calcule sunt delimitate prin paranteze, ca in urmatorul exercitiu
Produsul
se efectueaza de la stanga la dreapta, astfel: 71 ⋅ 14 = 994, 994 ⋅ 3 = 2982.
Deci
Datorita proprietatilor de comutativitate si asociativitate ale inmultirii numerelor naturale putem scrie, de exemplu,
Deci, luand in considereare ordinea efectuarii operatiilor, intr-un produs putem efectua, mai intai, produsul a doi factori oarecare ai produsului, iar rezultatul sa-l inmultim cu unul oarecare din ceilalti factori si sa continuam calculele, in felul acesta, pana la obtinerea rezultatului final.
Ordinea efectuarii operatiilor cu adunare, scadere, inmultire si impartire
La efectuarea unor calcule care implica atat operatii de ordinul intai (adunare si scadere) cat si operatii de ordinul al doilea (inmultire si impartire), de forma:
se efectueaza, tinand cont de ordinea efectuarii operatiilor, mai intai, 17 ⋅ 12 : 6. Calculele se efectueaza de la stanga la dreapta, anume 17 ⋅ 12 = 204 si 204 : 6 = 34. Am fi obtinut acelasi rezultat daca efectuam, mai intai, 12 : 6, care este 2, si apoi efectuam produsul 17 ⋅ 2 = 34. Aceasta se datoreaza faptului ca (17 ⋅ 12) : 6 = 17 ⋅ (12 : 6), iar calculele din paranteze se efectueaza, intotdeauna, inaintea celorlalte calcule. Obtinem
In continuare, calculele se efectueaza de la stanga la dreapta.
Avem (12 : 6) : 2 = 1 si 12 : (6 : 2) = 4. Deci, operatia de impartire neavand proprietatea de asociativitate, nu are sens sa scriem 12 : 6 : 2.
Ordinea efectuarii operatiilor cu paranteze
Avem
adica se efectueaza, mai intai, produsul 2 ⋅ 3, care este 6, si apoi 2 se aduna cu 6 si se obtine 8. Analog
adica, se efectueaza, mai intai, catul 10 : 2, care este 5, si apoi se aduna 10 cu 5, obtinandu-se 15. In egalitatea
se efectueaza, mai intai, diferenta 15 - 3, deoarece aceasta diferenta este cuprinsa intre paranteze. Apoi, diferenta 15 - 3, care este 12, se inmulteste cu 2 si se obtine 24.
Parantezele se folosesc pentru a delimita o suma, o diferenta, un produs, un cat sau o putere de numere naturale. De exemplu, in
Parantezele au fost puse pentru a delimita diferenta 15 - 3. Putem folosi mai multe randuri de paranteze. Primul rand rand de paranteze este format din paranteze rotunde, ca in 2 ⋅ (15 - 3). Al doilea rand de paranteze, care suprind paranteze rotunde, este format din paranteze drepte, ca in urmatorul exercitiu:
Aceasta inseamna:
10 ⋅ [3 + 2 ⋅ (7 - 4)] =
= 10 ⋅ (3 + 2 ⋅ 3) =
= 10 ⋅ (3 + 6) =
= 10 ⋅ 9 =
= 90
Al treilea rand de paranteze, care cuprind paranteze drepte, este format din acolade, ca in urmatorul exercitiu:
10 ⋅ {2 + 3 ⋅ [4 + 5 ⋅ (7 + 3)]} =
= 10 ⋅ [2 + 3 ⋅ (4 + 5 ⋅ 10)] =
= 10 ⋅ [2 + 3 ⋅ (4 + 50)] =
= 10 ⋅ (2 + 3 ⋅ 54) =
= 10 ⋅ (2 + 162) =
= 10 ⋅ 164 =
= 1640
Expresie. Vom spune ca o suma, o diferenta, un produs, un cat sau o putere de numere naturale este o expresie. Orice numar natural dintr-o expresie poate fi la randul sau o suma, o diferenta, un produs, un cat sau o putere de numere naturale. Deci, exemple de expresii sunt urmatoarele:
8 + 4;
15 - 3;
8 ⋅ 6;
16 : 8;
23;
2 + 2 ⋅ 3;
10 + 10 : 2;
2 ⋅ (15 - 3);
10 ⋅ [3 + 2 ⋅ (7 - 4)];
32 ⋅ 8 + 3.
In general, expresiile se scriu intre paranteze. Pentru a nu scrie prea multe paranteze, se suprima unele din ele pentru diferite motive. Unul dintre motive este asociativitatea adunarii numerelor naturale sau asociativitatea inmultirii numerelor naturale. De exemplu, scriem 2 + 4 + 1, in loc de (2 + 4) + 1 sau 2 + (4 + 1), deoarece (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1). Alteori se suspenda parantezele care cuprind un produs, daca acest produs este un termen al unei sume. De exemplu, scriem 2 + 2 ⋅ 3, in loc de 2 + (2 ⋅ 3). Analog, uneori se susprima parantezele care cuprind un cat, daca acest cat este un termen al unei sume. De exemplu, scriem 4 : 2 + 3, in loc de (4 : 2) + 3.
Rezultatul pe care il obtinem dupa efectuarea operatiilor indicate intr-o expresie il vom numi valoarea expresiei.
Spunem ca adunarea si scaderea sunt operatii de ordinul I, inmultirea si impartirea sunt operatii de ordinul II, iar ridicarea la putere sunt operatii de ordinul III.
Reguli in ordinea efectuarii operatiilor cu paranteze
Ordinea efectuarii operatiilor intr-o expresie este stabilita prin urmatoarele reguli:
1) Daca intr-o expresie nu exista paranteze, iar operatiile din expresie sunt de acelasi ordin, le efectuam, in general, in ordinea in care sunt scrise.
Ordinea in care sunt scrise operatiile este cea de la stanga la dreapta.
Exemple. Valoarea expresiei 2 + 4 - 1 o obtinem adunand pe 2 cu 4 si apoi scazand pe 1 din 6, care este rezultatul adunarii lui 2 cu 4, obtinem 5.
Valoarea expresiei 3 ⋅ 8 : 4 o obtinem inmultind pe 3 cu 8 si apoi impartind la 4 pe 24, care este rezultatul inmultirii lui 3 cu 8, obtinem 6.
Sa observam urmatoarele: in cazul lui 2 + 4 - 1 obtinem acelasi rezultat daca scadem, mai intai, pe 1 din 4, adica 2 + 4 - 1 = 2 + 3 = 5. Aceasta se explica prin aceea ca (2 + 4) - 1 = 2 + (4 - 1), motiv pentru care scriem 2 + 4 - 1 fara nici un fel de paranteze. Analog, la 3 ⋅ 8 : 4 obtinem acelasi rezultat daca impartim, mai intai, pe 8 la 4, adica 3 ⋅ 8 : 4 = 3 ⋅ 2 = 6. Aceasta se explica prin aceea ca (3 ⋅ 8) : 4 = 3 ⋅ (8 : 4), motiv pentru care scriem 3 ⋅ 8 : 4 fara nici un fel de paranteze.
Nu putem proceda analog in cazul expresiilor 4 + 2 - 3 si 2 ⋅ 6 : 4, deoarece nu se poate efectua impartirea intre numerele 6 si 4.
Prin urmare, putem retine ca scaderile pot fi efectuate inaintea adunarilor in expresiile, fara paranteze, care cuprind numai operatiile de adunare sau scadere, in cazul in care scaderile se pot efectua. De asemenea, putem retine ca impartirile pot fi efectuate inaintea inmultirilor in expresiile, fara paranteze, care cuprind numai operatiile de inmultire si impartire, in cazul in care impartirile se pot efectua.
2) Daca intr-o expresie nu exista paranteze, dar operatiile din expresie sunt de diferite ordine, efectuam, mai inainte, operatiile de ordinul III (ridicarile la putere), apoi pe cele de ordinul II (inmultirea si impartirea), si la final pe cele de ordinul I (adunarea si scaderea).
Exemple:
a) 7 ⋅ 5 - 2 ⋅ 4 + 9 = 35 - 8 + 9 = 27 + 9 = 36.
b) 17 ⋅ 23 - 3 ⋅ 52 = 17 ⋅ 8 - 3 ⋅ 25 = 136 - 75 = 61.
3) Daca intr-o expresie exista paranteze, efectuam, mai intai, calculele dinauntrul parantezelor.
Exemplu:
(7 ⋅ 5 - 2) ⋅ 4 + 9 = (35 - 2) ⋅ 4 + 9 = 33 ⋅ 4 + 9 =132 + 9 = 141.
Se observa ca s-a obtinut un alt rezultat decat cel obtinut in exemplul a) de mai sus, in care expresia nu contine paranteze.
In cazul in care intr-o expresie exista paranteze rotunde, drepte si acolade, incepem cu parantezele drepte si le transformam in paranteze rotunde. Dupa efectuarea acestor calcule, paratezele drepte le transformam in paranteze rotunde, iar acoladele in paranteze drepte si continuam efectuarea calculelor din noile paranteze rotunde si asa mai departe.
Exemplu:
Incepem cu efectuarea calculelor din parantezele rotunde si inlocuim parantezele drepte cu cele rotunde, iar acoladele cu paranteze drepte. Obtinem:
Mai departe obtinem:
Calculele se fac in felul urmator:
{[(7 ⋅ 3 - 5) + 2 ⋅ 6] : 4 + 5} ⋅ 10 - [(4 + 32) ⋅ 5 - 60] =
= [(16 + 2 ⋅ 6) : 4 + 5] ⋅ 10 - (13 ⋅ 5 - 60) =
= (28 : 4 + 5) ⋅ 10 - 5 =
= 12 ⋅ 10 - 5 =
= 120 - 5 =
= 115
Daca intr-o expresie apar operatii de inmultire sau impartire situate inaintea unei paranteze sau dupa o paranteza, le efectuam imediat dupa cele din paranteze, ca in urmatoarele exemple:
a) 5 + 45 + 2 ⋅ (12 - 9) = 50 + 6 = 56;
b) 72 - 3 + (15 - 7) : 4 = 69 + 2 = 71.
Multipli si submultipli metrului
Multipli si submultipli metrului sunt unitati mai […]
Mai mult…
Pozitii relative a doua drepte in spatiu
Inainte sa vorbim despre pozitii relative a doua […]
Mai mult…
Ce este un paralelipiped? Paralelipipedul dreptunghic
Paralelipipedul este o prisma cu bazele paralelograme […]
Mai mult…
