Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Pozitii relative a doua drepte in spatiu

Pozitii relative a doua drepte in spatiu

| |

Fig. 1 - Pozitii relative a doua drepte in spatiu

Inainte sa vorbim despre pozitii relative a doua drepte in spatiu, trebuie sa stim, din geometria in plan, ca doua drepte (ale aceluiasi plan) pot avea un punct comun (drepte concurente) sau pot sa nu aiba un punct comun (drepte paralele), ca in figura 2. Insa, in spatiu exista si drepte care, desi nu sunt paralele, nu au nici un punct comun. Ca exemplu, trebuie sa ne imaginam incaperea din figura 1. pct. a) Considerati marginea a a grindei tavanului si latura b a stalpului. Bineinteles ca aceasta nu constituie o demonstratie! sa incercam sa demonstram aceasta propozitie.

Fig. 2 - Pozitii relative a doua drepte in plan

Pentru a incepe demonstratia ne vom folosi de figura 1, pct. b). Fie punctele A, B, C, D nesituate in acelasi plan. Consideram dreapta d (care trece prin A si B) si g dreapta (care trece prin C si D) (figura 1, pct. b)), d ⋂ g = ∅. Daca d si g s-ar intalni, ar insemna ca A, B, C, D ar fi coplanare. Dar aceasta este contrara ipotezei. Vom numi astfel de drepte, care nu au nici un punct comun si nu sunt nici paralele, drepte necoplanare

In general, stim ca desenam dreptele ca pe niste interioare de segmente. De regula vom desena ca in figura 3:

Fig. 3 - Tipuri de drepte

Problema rezolvata cu pozitii relative a doua drepte in spatiu

Fie A, B, C, D, patru puncte, nesituate toate intr-un acelasi plan. Cate plane determina aceste patru puncte?

Rezolvare:

Fie planul α determinat de punctele A, B si C (figura 4). Dupa cum se observa, punctele A, B, c nu sunt coliniare. Insa, daca ar fi coliniare, atunci dreapta care le contine, impreuna cu punctul D, ar determina un plan si deci A, B, C, D ar fi coplanare. Deci in afara planului α ramane numai punctul D.

Fig. 4

Punctul D impreuna cu A si B determina un plan α₁. Analog, punctul D impreuna cu B si C si cu A si C determina cate un plan α₃. Prin urmare, cele patru puncte determina planele (ABC), (ABD) si (ACD).

Aceasta problema se mai poate gandi si in felul urmator: cate grupe de cate trei puncte, dintre punctele A, B, C, D, putem forma, astfel incat doua grupe sa difere intre ele printr-un punct? Putem lua perechea (A, B) cu C si cu D, si obtinem (ABC), (ABD). Putem lua perechea (B, C) cu D si obtinem (BCD) (cu A s-a considerat mai sus). Daca mai consideram si grupa (ACD), am obtinut cele patru plane determinate de punctele A, B, C, D.

Sau mai putem gandi in felul urmator: odata ce am ales trei puncte din patru (care determina un plan), ramane in afara acestui plan un singur punct.

In cate moduri poate ramane un punct "afara"? Evident, in patru moduri. Deci exista patru plane diferite.

Probleme din categoria #pozitii relative a doua drepte in spatiu

Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare.
a) Pot fi coliniare? Justificati raspunsul dat.
b) Unindu-le doua cate doua, cate astfel de drepte se pot duce?
Dandu-se patru puncte, dintre care oricare trei sunt coliniare, cate drepte determinate de cate doua dintre ele se pot duce? (In loc de "se pot duce" putem spune "exista", deoarece uneori nu le vom desena ci numai vom demonstra ca ele sunt determinate).
Din patru puncte date, exact trei sunt coliniare.
a) Cate plane diferite, care sa contina trei dintre ele, necoliniare, exista?
b) Cate plane care sa contina trei dintre ele exista?
Fie d si g, doua drepte coplanare. Fie A un punct apartinand lui d si B un punct apartinand lui g. Sa se arate ca M, mijlocul segmentului AB, se afla in planul determinat de d si g.
Intr-un plan α sunt date punctele distincte M₁, M₂, M₃, M₄, M₅, M₆ si, in afara lui, un punct M₇.
a) Care este cel mai mic numar de plane, exceptand planul α, determinate de trei dintre ele si in ce situatie se obtine?
b) Dar cel mai mare?
c) Exista numai trei astfel de plane?
In figura 5, punctele A si B nu sunt situate in planul α. Daca {P} = AB ⋂ α so Q un punct oarecare al planului α, sa se arate ca PA - PB ≥ |QA - QB|.

Fig. 5

Se dau dreptele paralele d si g. Sa se arate ca toate dreptele care au un punct comun cu d si unul cu g sunt continute in planul determinat de d si g.
Daca dreapta d₁ este coplanara cu d₂, si d₂ este coplanara cu d₃, rezulta ca d₁ si d₃ sunt coplanare?
Dandu-se doua drepte concurente d si g, sa se gaseasca locul geometric al punctelor care se sprijina pe d si sunt paralele cu g (Prin "se sprijina" intelegem ca au un punct comun cu d).