Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Puncte, drepte si plane

Puncte, drepte si plane

| |

Punctul, atat in geometria in spatiu cat si in geometria in plan, nu are "intindere" si nu poate fi confundat cu o bulina. Dreapta, de asemenea, atat in geometria in spatiu cat si in geometria in plan, este compatibila cu un fir bine intins, presupus "prelungit oricat", dar, spre deosebire de acesta, nu are grosime; se considera a fi o multime de puncte. Si nu in ultimul rand, planul este compatibil cu suprafata unei ape linistite. Asemanarea este insa foarte aproximativa, pentru ca "apa linistita" este o portiune a unui glob (cel terestru). Planul, ca si dreapta, nu are grosime, nu este un "strat", contine drepte, este o multime de puncte.

In figura 1 sunt desenate un punct A, o dreapta d si un plan α. Notam punctul cu o litera mare, iar dreapta cu o litera mica din alfabetul latin si planul cu o litera mica din alfabetul grecesc. Aceasta este o simpla conventie de notatie de la care nu ne putem abate.

Fig. 1

Planul il desenam (desi este nemarginit, continand drepte, asa cum vom vedea mai departe), printr-o portiune a sa dreptunghiulara, care in perspectiva va aparea ca un paralelogram. Alteori, pentru a nu complica figura, vom reprezenta, in desen, planul ca pe un unghi.

Consideram adevarate, de la inceput, urmatoarele propozitii:

P₁ - Prin doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; orice dreapta are cel putin doua puncte distincte.

Prima parte a acestei afirmatii se mai poate formula si astfel: Doua puncte determina o dreapta si numai una.

P₂ - Intr-un plan, printr-un punct exterior unei drepte se poate duce o paralela la ea si numai una. (Postulatul lui Euclid.) (Acceptam deci implicit ca doua paralele sunt in acelasi plan.)

P₃ - Fiind tri puncte necoliniare, exista un plan si numai unul care sa le contina; intr-un plan exista cel putin trei puncte necoliniare.

Prima parte a propozitiei P₃ se mai poate formula astfel: Trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul.

Daca punctul A este in planul α (figura 2) se scrie A ∈ α si daca punctul B nu apartine planului α, se scrie B ∉ α.

Fig. 1 - Punctul B nu apartine planului α, iar punctul A apartine planului α

Observatie: Propozitiile P₁ si P₂ erau adevarate si in geometria plana

P₄ - Daca doua puncte distincte A si B sunt stuate intr-un plan, dreapta determinata de ele are toate punctele in acest plan.

Altfel spus: Dreapta determinata de punctele A si B, situate in planul α, este continuta (sau situata) in planul α (figura 3).

Fig. 3 - Dreapta determinata de punctele A si B, situate in planul α, este continuta in planul α

Din propozitia P₄ rezulta ca un plan este nemarginit, asa cum afirmam la inceputul articolului.

P₅ - Daca doua drepte distincte au un punct comun, atunci ele mai au inca cel putin unul.

Consecinta: Doua plane distincte, care au un punct comun, au o dreapta comuna.

Tntr-adevar, daca planele α si β au un punct comun P, mai au inca un punct Q comun, deci au si dreapta PQ comuna (am notat, de data aceasta, dreapta, nu printr-o singura litera mica, ci prin doua din punctele ei) (figura 4).

Fig. 4

Observatie: Consecinta de mai sus nu exclude existenta a doua plane care nu au nici un punct comun (acestea se numesc plane paralele).

P₆ - Exista patru puncte nesituate in acelasi plan (necoplanare). Aceasta propozitie, impreuna cu P₃, ne "scoate in spatiu". Fara ea am studia tot geometria in plan.

In fiecare plan din spatiu, consideram adevarate toate propozitiile (axiomele si teoremele) valabile in geometria plana. In plus, relatiile de congruenta si asemanare "opereaza" si in planuri diferite. De pilda, doua triunghiuri pot fi congruente, chiar daca nu sunt in acelasi plan (bineinteles aceasta inseamna ca am acceptat aceeasi afirmatie pentru segmente si unghiuri). Toate relatiile de ordine se mentin, de asemenea.

Alte articole