Acasa » Tehnologii » Ce mare inginerie! › Simetria fata de o dreapta

Simetria fata de o dreapta

| |

Fig. 1 - Simetria fata de o dreapta

Cuvantul simetrie este compus din doua cuvinte care provin din limba graca, si anume syn = impreuna si metron = masura. Pentru a spune ca doua puncte sunt simetrice fata de o dreapta vom proceda in felul urmator: spunem ca puncte A si A' sunt simetrice fata de dreapta d (numita axa de simetrie) daca dreapta d este mediatoarea segmentului [AA'].

Punctul A' se numeste simetricul punctului A fata de dreapta d si punctul A', simetricul punctului A fata de aceeasi dreapta d.

Daca punctul B apartine axei de simetrie, el este propriul lui simetric (Figura 1).

O multime de puncte ℳ (figura geometrica) admite o axa de simetrie "d" daca oricarui punct A al multimii ℳ (al figurii) ii corespunde un punct A' al aceleiasi multimi ℳ (figuri), care este simetricul lui fata de axa de simetrie d.

Exemplul nr. 1.

Doua drepte perpendiculare sunt simetrice una fata de celalta.

Fie dreptele perpendiculare d₁ si d₂ (d₁ ∩ d₂ = {O}) (Figura 2). Luam de exemplu punctul A pe dreapta d₂ (A ∈ d₂ si A ≠ O). Distanta de la punctul A la dreapta d₁ este AO (diferita de zero). Fixam punctul A' pe dreapta d₂ in celalalt semiplan determinat de d₁, astfel incat distanta punctului A' la dreapta d₁ sa fie egala cu AO, deci AO = OA'. In acest fel, segmentul [AA'] are ca mediatoare dreapta d₁, deoarece: d₁ ⊥ [AA'] (dreptele d₁ si d₂ fiind perpendiculare) si AO = OA' (din constructia facuta).

Punctele A si A' sunt deci simetrice fata de dreapta d₁.

Exemplul nr. 2.

Orice punct al segmentului [AA'] are un simetric fata de mediatoarea segmentului. Deci, mediatoarea segmentului [AA'] este axa lui de simetrie. Aceasta este o urmare a faptului ca dreptele perpendiculare sunt simetrice una fata de cealalta.

Dar segmentul [AA'] mai are si o alta axa de simetrie si anume dreapta in care este inclus segmentul.

Exemplul nr. 3.

Bisectoarea unui unghi este axa de simetrie a unghiului.

Aceasta propozitie o vom intelege astfel: fie, la intamplare, un punct A pe latura [Ox a unghiului xOy (Figura 3), simetricul acestui punct fata de bisectoarea [Oz se afla pe cealalta latura a unghiului xOy, pe semidreapta [Oy. In figura 3 unde A ∈ [Ox, A' ∈ [Oz, A" ∈ [y, punctul A"este simetricul lui A(AA" ⊥ [Oz si AA' = A'A").

SE spune ca latura [Oy a unghiului este simetrica laturii [Ox fata de bisectoarea [Oz a unghiului si invers, latura [Ox este simetrica laturii [Oy sau - mai pe scurt - ca laturile unui unghi sunt una simetrica fata de bisectoarea unghiului.

Constatam deci ca semidreptele simetrice [Ox si [Oy fac unghiuri congruente cu axa lor de simetrie [Oz. Astfel, putem construi un unghi cand cunoastem una dintre laturi si bisectoarea lui.

Revenind la figura 3, mai spunem ca segmentul [A"A'] este simetricul segmentului [AA'] fata de Oz si invers, segmentul [AA'] este simetricul segmentului [A"A'].

Din cele aratate mai sus, deducem ca un triunghi isoscel are o axa de simetrie si anume bisectoarea unghiului de la varf (ea fiind in acelasi timp si mediatoarea bazei triunghiului), iar triunghiul echilateral are trei axe de simetrie, care sunt bisectoarele unghiurilor (deoarece bisectoarele sunt si mediatoarele laturilor).

Alte articole